Somme et produit de racines de l'unité - Corrigé

Énoncé

1. Calculer la somme et le produit des racines \(3^\text{e}\) de l'unité, puis ceux des racines \(4^\text{e}\)  et \(6^\text{e}\) de l'unité.

2. Soit \(n \in \mathbb{N}\) tel que \(n \geq 2\) .  Que valent la somme et le produit des racines \(n\) -ièmes de l'unité ?

Solution

1. On a \(1+j+j^2= 1 - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i = 0\)  
et  \(1 \times \left( -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) \times \left( -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i \right) = j \times \overline{j} = \left\vert j \right\rvert^2 = 1^2=1\)
On a \(1+i-1-i=0\) et \(1 \times i \times (-1) \times (-i) = (-1) \times 1 = -1\)
On a \(1 + \text e^{i \frac{\pi}{3}} + \text e^{i \frac{2\pi}{3}} - 1 + \text e^{i \frac{4\pi}{3}} + \text e^{i \frac{5\pi}{3}} = 1 + \text e^{i \frac{\pi}{3}} + \text e^{i \frac{2\pi}{3}} - 1 + \text e^{i \frac{-2\pi}{3}} + \text e^{i \frac{-\pi}{3}}= 0\)
et \(1 \times \text e^{i \frac{\pi}{3}} \times \text e^{i \frac{2\pi}{3}} \times (- 1) \times \text e^{i \frac{4\pi}{3}} \times \text e^{i \frac{5\pi}{3}} =\text e^{i\frac{\pi}{3} \times (0+1+2+3+4+5)}= \text e^{i\frac{15\pi}{3} }= \text e^{i 5 \pi } = -1\) .

2. \(n\geq 2\) donc  \(\dfrac{2\pi}{n} \in ]0; \pi]\) donc  \(\text e^{\frac{2i\pi}{n}} \neq 1\) .
Ainsi  \(\displaystyle \sum_{k=0}^{n-1} \text e^{\frac{2ik\pi}{n}}= \sum_{k=0}^{n-1} \left( \text e^{\frac{2i\pi}{n}} \right)^k= \frac{1- \left( \text e^{\frac{2i\pi}{n}} \right)^n}{1-\text e^{\frac{2i\pi}{n}}}= \frac{1- \text e^{2i\pi} }{1-\text e^{\frac{2i\pi}{n}}}= \frac{1- 1 }{1-\text e^{\frac{2i\pi}{n}}}= 0\)

et  \(\displaystyle 1 \times \text e^{\frac{2i\pi}{n}} \times \text e^{\frac{4i\pi}{n}} \times ... \times \text e^{\frac{(n-1)i\pi}{n}}= \text e^{ \frac{i \pi}{n} \times \left( \sum_{k=0}^{n-1} k \right) }= \text e^{ \frac{i \pi}{n} \times n(n-1) }= \text e^{ i (n-1) \pi }= \left( \text e^{i \pi} \right)^n= (-1)^{n-1}\)